Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度沿ABCD的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿ADC的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（秒），△APQ的面積為S（平方單位）．
（1）點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是______秒；
（2）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)S=時(shí)，求x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)，所行駛的路程為4×2+2×2=12，再利用路程÷速度=時(shí)間，進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，P點(diǎn)在AB上，Q點(diǎn)在AD上，根據(jù)三角形面積進(jìn)行計(jì)算即可；
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，P點(diǎn)在CB上，PB=2x-4，CP=6-x，Q點(diǎn)在CD上，DQ=x-2，QC=6-2x，用長(zhǎng)方形ABCD的面積-三角形ADQ的面積-三角形QCP的面積-三角形ABP的面積可得三角形QAP的面積；當(dāng)3＜x≤4時(shí)，則QP=4-DQ-CP=12-3x，再利用三角形面積進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）把S=代入（2）中的解析式即可求出x的值．
解答：解：（1）（4×2+2×2）÷（2+1）=4．
故答案為：4．

（2）如圖1，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，S=AP=•x•2x=x²．
如圖2，當(dāng)2＜x≤3時(shí)，
由長(zhǎng)方形ABCD的面積-S_△ADQ-S_△QCP-S_△ABP=S_△QAP
=4×2-×2×（x-2）-×4×（2x-4）-×（6-x）×（6-2x）
=-x²+4x．
如圖3，當(dāng)3＜x≤4時(shí)，S=×AD×QP=×2×（12-3x）=12-3x．

（3）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，x²=，解得：x=±，
故x=．
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，-x²+4x=，解得：x=2±，故x=2+．
當(dāng)3＜x≤4時(shí)，12-3x=，解得：x=（小于3，舍去），故此時(shí)不存在．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)，三角形的面積計(jì)算，以及一元二次方程的計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)x的取值范圍表示出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．