Question

（2013•唐山一模）如圖，△ABC中，P是BC上一點(diǎn)，PQ⊥AB，垂足為Q，PQ=10，∠B=30°，∠PAB=45°，以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖所示的坐標(biāo)系．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（-10-10

3

，0）

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（-10，10）

．
（2）如果AC與x軸的正半軸的夾角為75°，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）在Rt△PQB中求出BQ，在Rt△PQA中求出AQ，即可得出點(diǎn)B及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）先判定△APQ是等腰直角三角形，然后求出PA的長(zhǎng)，再求出PB的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求出∠C=45°，然后求出△BAP和△BAC相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可求出AC的長(zhǎng)．

解答：解：（1）在Rt△PQB中，∠B=30°，PQ=10，
則BQ=10

3

，
在Rt△PQA中，PQ=10，∠PAB=45°，
則AQ=PQ=10，
故可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-10-10

3

，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-10，10）；

（2）∵PQ⊥AB，∠PAB=45°，
∴△APQ是等腰直角三角形，
∵PQ=10，
∴PA=10

2

，
∵∠B=30°，
∴PB=2PQ=20，
∵∠B=30°，AC與x軸的正半軸的夾角為75°，
∴∠C=75°-30°=45°，
∴∠C=∠PAB=45°，
又∵∠B=∠B=30°，
∴△BAP∽△BAC，
∴

AP

AC

=

PB

AB

，
即

10 2

AC

=

20

10+10 3

，
解得AC=

2

（5+5

3

）=5

2

+5

6

，
所以，AC的長(zhǎng)為5

2

+5

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)在第二問，關(guān)鍵在于利用外角的性質(zhì)判斷出∠B=∠C．