Question

1．如圖，以Rt△OBC的直角邊OB為半徑作⊙O，點(diǎn)D、E都在⊙O上，且∠ADE=∠OCB，連接CE．
（1）求證：CE為⊙O的切線．
（2）線段CO與⊙O交于點(diǎn)F，若F點(diǎn)為CO的中點(diǎn)，連接EO、EF、BF，試判斷四邊形BOEF的形狀．

Answer 1

分析 （1）連接OE，根據(jù)圓周角定理得到∠AOE=2∠D，得到∠AOE=2∠BCO，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BCO+∠BOC=90°，推出∠BOC=∠EOC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OEC=∠OBC=90°，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EF=BF=OF，由于OB=OE=OF．等量代換得到OB=OE=EF=BF，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OE，
∴∠AOE=2∠D，
∵∠D=∠BCO，
∴∠AOE=2∠BCO，
∵∠OBC=90°，
∴∠BCO+∠BOC=90°，
∴2∠BCO+2∠BOC=180°，
∴∠AOE+2∠BOC=180°，
∵∠AOE+∠EOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=∠EOC，
在△BOC與△EOC中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OE}\\{∠BOC=∠EOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△BDO≌△EOC，
∴∠OEC=∠OBC=90°，
∴OE⊥CE，
∴CE為⊙O的切線；
（2）解：∵∠OBC=∠OEC=90°，F(xiàn)點(diǎn)為CO的中點(diǎn)，
∴EF=BF=OF，
∵OB=0E=OF．
∴OB=OE=EF=BF，
∴四邊形BOEF是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，全等三角形的判斷和性質(zhì)，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．