（2011•連云港二模）連云港市花果山風景區(qū)為了提高某景點的安全性，決定將到達該景點的步行臺階進行改善，把傾角由45°減至30°，已知原臺階坡面AB的長為10m（BC所在地面為水平面）．
（1）改善后的臺階坡面會加長多少？
（2）改善后的臺階多占多長一段水平地面？（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）

【答案】分析：（1）首先根據(jù)三角函數(shù)求得臺階的高AC的長，然后再根據(jù)三角函數(shù)求得AD，AD與AB的差即為所求；
（2）在Rt△ABC中求得BC的長，再在直角△ACD中求得CD的長，兩者的差即為所求．
解答：解：（1）如圖，在Rt△ABC中，（m）．
在Rt△ACD中，（m），
∴AD-AB=7.05-5≈2.1m．
即改善后的臺階坡面會加長2.1m．

（2）如圖，在Rt△ABC中，BC=AB•cos45°=10×=5≈7.07m．
在Rt△ACD中，（m），
∴BD=CD-BC=6.10-3.53≈2.6（m）．
即改善后的臺階多占2.6．長的一段水平地面．
點評：本題主要考查了三角函數(shù)的應用，正確理解兩個直角三角形的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．
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（2）如圖（2），點P為AB邊上的動點（P與A、B不重合），PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分別為M，N．設(shè)PM=x，四邊形OMPN的面積為y．
①求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②是否存在一點P，使得四邊形OMPN的面積恰好等于梯形OABC的面積的一半？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，說明理由．

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（2）改善后的臺階多占多長一段水平地面？（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）

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