Question

（1）證明：奇數(shù)的平方被8除余1．
（2）請你進一步證明：2006不能表示為10個奇數(shù)的平方之和．

Answer 1

設奇數(shù)為（2n+1）（n≥0，n為整數(shù)），則（2n+1）²=4n²+4n+1，
只要證得8能整除（4n²+4n）即可，
顯然4能整除（4n²+4n），而n²與n奇偶性相同，所以2能整除（n²+n），
因此8能整除（4n²+4n），所以可以得出（4n²+4n+1）被8除余1，
即奇數(shù)的平方被8除余1．
（2）由（1）可知10個奇數(shù)的平方之和被8除余數(shù)為2，
2006除以8余數(shù)為6，兩數(shù)被8除余數(shù)不同，
也就證明2006不能表示為10個奇數(shù)的平方之和．