Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（-4，），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，則在線段AC上是否存在這樣的點(diǎn)Q使得△ADQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)把拋物線設(shè)為頂點(diǎn)式形式y(tǒng)=a（x+4）²-，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式求出a的值，即可得解；
（2）先根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，從而得到OA、OC、AD的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理列式求出AC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)銳角三角形函數(shù)求出∠OAC的正弦值與余弦值，再分①AD=Q₁D時(shí)，過(guò)Q₁作Q₁E₁⊥x軸于點(diǎn)E₁，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出AQ₁，再利用∠OAC的正弦求出Q₁E₁的長(zhǎng)度，根據(jù)∠OAC的余弦求出AE₁的長(zhǎng)度，然后求出OE₁，從而得到點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)；②AD=AQ₂時(shí)，過(guò)Q₂作Q₂E₂⊥x軸于點(diǎn)E₂，利用∠OAC的正弦求出Q₂E₂的長(zhǎng)度，根據(jù)∠OAC的余弦求出AE₂的長(zhǎng)度，然后求出OE₂，從而得到點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)；③AQ₃=DQ₃時(shí)，過(guò)Q₃作Q₃E₃⊥x軸于點(diǎn)E₃，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出AE₃的長(zhǎng)度，然后求出OE₃，再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出Q₃E₃的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)Q₃的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）²-，
∵拋物線過(guò)點(diǎn)B（1，0），
∴a（1+4）²-=0，
解得a=，
所以，拋物線解析式為y=（x+4）²-，
即y=x²+4x-；

（2）存在點(diǎn)Q₁（-1，-4），Q₂（2-9，-），Q₃（-，-）．
理由如下：∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4，0），
令x=0，則y=-，
令y=0，則x²+4x-=0，
整理得，x²+8x-9=0，
解得x₁=1，x₂=-9，
∴點(diǎn)A（-9，0），C（0，-），
∴OA=9，OC=，AD=-4-（-9）=-4+9=5，
在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理，AC===，
∴sin∠OAC===，
cos∠OAC===，
①AD=Q₁D時(shí)，過(guò)Q₁作Q₁E₁⊥x軸于點(diǎn)E₁，
根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，AQ₁=2•ADcos∠OAC=2×5×=4，
Q₁E₁=AQ₁•sin∠OAC=4×=4，
AE₁=AQ₁•cos∠OAC=4×=8，
所以，OE₁=OA-AE₁=9-8=1，
所以，點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（-1，-4）；
②AD=AQ₂時(shí)，過(guò)Q₂作Q₂E₂⊥x軸于點(diǎn)E₂，
Q₂E₂=AQ₂•sin∠OAC=5×=，
AE₂=AQ₂•cos∠OAC=5×=2，
所以，OE₂=OA-AE₂=9-2，
所以，點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)為（2-9，-）；
③AQ₃=DQ₃時(shí)，過(guò)Q₃作Q₃E₃⊥x軸于點(diǎn)E₃，
則AE₃=AD=×5=，
所以，OE₃=9-=，
∵Q₃E₃⊥x軸，OC⊥OA，
∴△AQ₃E₃∽△ACO，
∴=，
即=，
解得Q₃E₃=，
所以，點(diǎn)Q₃的坐標(biāo)為（-，-），
綜上所述，在線段AC上存在點(diǎn)Q₁（-1，-4），Q₂（2-9，-），Q₃（-，-），使得△ADQ為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)和綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的定義，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，（2）要分情況討論．