Question

若拋物線y=-x²+2ax+b的頂點在直線mx-y-2m+1=0上移動，且與拋物線y=x²有公共點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：用配方法將拋物線y=-x²+2ax+b寫成頂點式，求出頂點坐標(biāo)，代入直線mx-y-2m+1=0中，再聯(lián)立兩條拋物線的解析式，當(dāng)兩拋物線有交點時，△≥0，解不等式即可．

解答：解：∵y=-x²+2ax+b=-（x-a）²+a²+b，
∴頂點坐標(biāo)為（a，a²+b），
代入mx-y-2m+1=0中，得ma-（a²+b）-2m+1=0，
即b=ma-a²-2m+1，
聯(lián)立

y=- x2+2ax+b y=x2

，
解得-2x²+2ax+b=0，
∵兩拋物線有公共點，
∴△=（2a）²-4×（-2）×b≥0，
即a²+2b≥0，
a²+2（ma-a²-2m+1）≥0，
整理，得2（a-2）m≥a²-2，
當(dāng)a=2時，無解，
當(dāng)a＞2時，
m≥

a2-2

2(a-2)

=

1

2

[a-2+

2

a-2

+4]≥

2

+2，當(dāng)a=2+

2

時取等號；
當(dāng)a＜2時，
m≤

a2-2

2a-4

=

1

2

[a-2+

2

a-2

+4]≤-

2

+2，當(dāng)a=2-

2

時取等號．

點評：本題考查了拋物線的頂點坐標(biāo)的求法，兩拋物線的交點坐標(biāo)的求法，以及解不等式的相關(guān)知識，分類討論問題．