Question

如圖，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，AB=5，cos∠OAB=

4

5

，直線y=

4

3

x-1分別與直線AB、x軸、y軸交于點(diǎn)C、D、E．
（1）求證：∠OED=∠OAB；
（2）直線DE上是否存在點(diǎn)P，使△PBE與△AOB相似，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用題中已知條件求出直線AB的解析式，可知AB與CE是互相垂直的，然后證明∠OED=∠OAB；
（2）分兩種情況討論：①當(dāng)∠EBP與∠AOB是對(duì)應(yīng)角時(shí)；②當(dāng)∠EBP與∠ABO是對(duì)應(yīng)角時(shí)．對(duì)應(yīng)不同情況解出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）在Rt△OAB中，∵AB=5，cos∠OAB=

4

5

，
∴OA=4，OB=3，（1分）
∴

OB

OA

=

3

4

．
令x=0，則y=-1，∴OE=1．
令y=0，則0=

4

3

x-1，∴x=

3

4

，∴OD=

3

4

．（2分）
∴

OD

OE

=

3

4

．
∴

OB

OA

=

OD

OE

（3分）
∵∠EOD=∠AOB=90°，
∴△EOD∽△AOB，
∴∠OED=∠OAB．（4分）

（2）分兩種情況：
當(dāng)∠EBP與∠AOB是對(duì)應(yīng)角時(shí)，如圖1，
則∠EBP=∠AOB=90°．（5分）
由（1）知，∠OAB=∠OED，OA=BE=4，
∴△BEP≌△AOB，
∴BP=OB=3，（6分）
將x=3代入y=

4

3

x-1中，得y=

4

3

×3-1=3，
∴點(diǎn)P（3，3）．（7分）
當(dāng)∠EBP與∠ABO是對(duì)應(yīng)角時(shí)，如圖2，則∠EBP=∠ABO．（8分）
∵∠OAB=∠OED，∴△EPB∽△AOB．
∵點(diǎn)P和點(diǎn)D都在直線CD上，
∴點(diǎn)C即為點(diǎn)P．（9分）
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b．
將點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3）代入y=kx+b中，得

0=4k+b 3=b

，∴

k=- 3 4 b=3

，∴y=-

3

4

x+3，（10分）
∴

y=- 3 4 x+3 y= 4 3 x-1

，∴

x= 48 25 y= 39 25

，∴點(diǎn)P（

48

25

，

39

25

）．（11分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)一次函數(shù)的綜合應(yīng)用和相似三角形的應(yīng)用．