20.閱讀與證明:請閱讀以下材料,并完成相應的任務.
傳說古希臘畢達哥拉斯(約公元570年-約公元前500年)學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學問題.他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù),比如,他們研究過1、3、6,10…由于這些數(shù)可以用圖中所示的三角形點陣表示,他們就將其稱為三角形數(shù),第n個三角形數(shù)可以用$\frac{n(n+1)}{2}$(n≥1)表示.
任務:請根據(jù)以上材料,證明以下結論:
(1)任意一個三角形數(shù)乘8再加1是一個完全平方數(shù);
(2)連續(xù)兩個三角形數(shù)的和是一個完全平方數(shù).

分析 (1)第n個三角形數(shù)$\frac{n(n+1)}{2}$8再加1,再利用完全平方公式整理得出答案即可;
(2)分別用n表示出第n-1,n個三角形數(shù),進一步相加整理得出答案即可.

解答 證明:(1)∵第n個三角形數(shù)為$\frac{n(n+1)}{2}$個,
∴($\frac{n(n+1)}{2}$×8+1
=4n+4n+1
=(2n+1)2
即任意一個三角形數(shù)乘8再加1是一個完全平方數(shù).
(2)∵第n-1個三角形數(shù)為$\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}$個,第n個三角形數(shù)為$\frac{n(n+1)}{2}$個,
∴$\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}$+$\frac{n(n+1)}{2}$
=$\frac{1}{2}$(n2-n+n2+n)
=n2
即連續(xù)兩個三角形數(shù)的和是一個完全平方數(shù).

點評 此題考查完全平方數(shù),用字母表示出第n個三角形數(shù),利用完全平方公式因式分解是解決問題的關鍵.

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