Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)M是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，將等邊△ABC沿過(guò)點(diǎn)M的直線折疊，該直線與直線AC交于點(diǎn)N，使點(diǎn)A落在直線BC上的點(diǎn)D處，且BD：DC=1：4，折痕為MN，則AN的長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】7或
【解析】解：①當(dāng)點(diǎn)A落在如圖1所示的位置時(shí)，

∵△ACB是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，

∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，

∴∠BMD=∠NDC，

∴△BMD∽△CDN．

∴得 = = ，

∵DN=AN，

∴得 = = ，

∵BD：DC=1：4，BC=10，

∴DB=2，CD=8，

設(shè)AN=x，則CN=10﹣x，

∴ = = ，

∴DM= ，BM= ，

∵BM+DM=30，

∴ + =10，

解得x=7，

∴AN=7；

②當(dāng)A在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，

與①同理可得△BMD∽△CDN．

∴得 = = ，

∵BD：DC=1：4，BC=10，

∴DB= ，CD= ，

設(shè)AN=x，則CN=x﹣10，

∴ = = ，

∴DM= ，BM= ，

∵BM+DM=10，

∴ + =10，

解得：x= ，

∴AN= ．

所以答案是：7或 ．

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用翻折變換（折疊問(wèn)題）和相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．