如圖,已知:在△ABC中,AB=BC=CA=2,D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CD=1,P為AB上一動(dòng)點(diǎn)(不精英家教網(wǎng)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A,B),以PC為直徑作⊙O交BC于M,連接PD,交⊙O于H,交AC于E,連接PM.
(1)設(shè)AP=t,S△PCD=S,求S關(guān)于t的函數(shù)解析式和t的取值范圍;
(2)過(guò)D作⊙O的切線DT,T為切點(diǎn),試用含t的代數(shù)式表示DT的長(zhǎng);
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí),求證:
S△PCD
S△PCE
=
CD
CE
分析:(1)表示面積關(guān)鍵是確定△PCD的底CD,高PM,圍繞求PM,解直角△BPM,其中PB=2-t,∠B=60°;
(2)運(yùn)用切割線定理得DT2=DC•DM,關(guān)鍵是會(huì)表示DM,由(1)可得到啟發(fā);
(3)△PCD的底CD,高PM,可以思考△PCE的底CE,構(gòu)造CE邊上的高PN即可.
解答:(1)解:∵PC是直徑,
∴PM⊥BC,
在Rt△PBM中,PB=2-t,∠B=60°,
∴PM=PB•sin60°=
3
(2-t)
2

S=
1
2
×CD×PM=
3
(2-t)
4
(0<t<2).

(2)解:由(1)可知,BM=
1
2
(2-t),MC=2-BM=
1
2
(2+t),MD=MC+1=2+
1
2
t;
由切割線定理得DT2=DC•DM=2+
1
2
t,
∴DT=
2+
1
2
t
精英家教網(wǎng)

(3)證明:作PN⊥AC于N;
∵點(diǎn)P為AB中點(diǎn),
∴CP為等邊△ABC的中線,
∴PC平分∠ACB,
∵PM=PN,
∴S△PCD=
1
2
PM•CD,S△PCE=
1
2
PN•CE,
S△PCD
S△PCE
=
CD
CE
點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形面積的表示方法,等邊三角形的性質(zhì),角平分線性質(zhì),切割線定理,解直角三角形等知識(shí)的運(yùn)用.
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