Question

暑假期間，北關(guān)中學(xué)對網(wǎng)球場進行了翻修，在水平地面點A處新增一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球飛行線路是一條拋物線（如圖所示），在地面上落點為B．有同學(xué)在直線AB上點C（靠點B一側(cè)）豎直向上擺放無蓋的圓柱形桶，試圖讓網(wǎng)球落入桶內(nèi)，已知AB=4m，AC=3m，網(wǎng)球飛行最大高度OM=5m，圓柱形桶的直徑為0.5m，高為0.3m（網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計），以M點為頂點，拋物線對稱軸為y軸，水平地面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）請求出拋物線的解析式；
（2）如果豎直擺放5個圓柱形桶時，網(wǎng)球能不能落入桶內(nèi)？
（3）當(dāng)豎直擺放圓柱形桶多少個時，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)？

Answer 1

分析：（1）以點O為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，有函數(shù)圖象可設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+k，把M（0，5），B（2，0）代入，求出a，c的值即可；
（2）以拋物線的對稱軸為y軸，水平地面為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)解析式，結(jié)合已知確定拋物線上點的坐標(biāo)，代入解析式確定拋物線的解析式；
（3）由圓桶的直徑，求出圓桶兩邊緣縱坐標(biāo)的值，確定m的值的范圍．

解答：解：（1）以點O為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖），
M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（ 1.5，0）
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+k，
拋物線過點M和點B，
則k=5，a=-

5

4

．
∴拋物線解析式為：y=-

5

4

x²+5；

（2）∵當(dāng)x=1時，y=

15

4

；
當(dāng)x=

3

2

時，y=

35

16

．
∴P（1，

15

4

），Q（

3

2

，

35

16

）在拋物線上；
當(dāng)豎直擺放5個圓柱形桶時，桶高=

3

10

×5=

3

2

，
∵

3

2

＜

15

4

且

3

2

＜

35

16

，
∴網(wǎng)球不能落入桶內(nèi)；

（3）設(shè)豎直擺放圓柱形桶m個時網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)，
由題意得：

35

16

≤

3

10

m≤

15

4

，
解得：7

7

24

≤m≤12

1

2

；
∵m為整數(shù)，
∴m的值為8，9，10，11，12．
∴當(dāng)豎直擺放圓柱形桶8，9，10，11或12個時，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)．

點評：此題考查了拋物線的問題，需要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知條件，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，確定解析式，這是解答其它問題的基礎(chǔ)．