Question

如圖，已知拋物線y=-x²+px+q的對稱軸為x=-3，過其頂點M的一條直線y=kx+b與該拋物線的另一個交點為N（-1，1）．要在坐標(biāo)軸上找一點P，使得△PMN的周長最小，則點P的坐標(biāo)為（　�。�

• A、（0，2）
• B、（

  4

  3

  ，0）
• C、（0，2）或（

  4

  3

  ，0）
• D、以上都不正確

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：首先，求得拋物線的解析式，根據(jù)拋物線解析式求得M的坐標(biāo)；欲使△PMN的周長最小，MN的長度一定，所以只需（PM+PN）取最小值即可．
然后，過點M作關(guān)于y軸對稱的點M′，連接M′N，M′N與y軸的交點即為所求的點P（如圖1）；過點M作關(guān)于x軸對稱的點M′，連接M′N，則只需M′N與x軸的交點即為所求的點P（如圖2）．

解答：解：如圖，∵拋物線y=-x²+px+q的對稱軸為x=-3，點N（-1，1）是拋物線上的一點，
∴

- p -2 =-3 1=-1-p+q

，
解得，

p=-6 q=-4

．
∴該拋物線的解析式為y=-x²-6x-4=-（x+3）²+5，
∴M（-3，5）．
∵△PMN的周長=MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小．
如圖1，過點M作關(guān)于y軸對稱的點M′，連接M′N，M′N與y軸的交點即為所求的點P．則M′（3，5）．
設(shè)直線M′N的解析式為：y=ax+t（a≠0），則

5=3a+t 1=-a+t

，
解得，

a=1 t=2

，
故該直線的解析式為y=x+2．
當(dāng)x=0時，y=2，即P（0，2）．
同理，如圖2，過點M作關(guān)于x軸對稱的點M′，連接M′N，則只需M′N與x軸的交點即為所求的點P（-

4

3

，0）．
綜上所述，符合條件的點P的坐標(biāo)是（0，2）或（-

4

3

，0）．
故選：D．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題．在求點P的坐標(biāo)時，一定要注意題目要求是“要在坐標(biāo)軸上找一點P”，所以應(yīng)該找x軸和y軸上符合條件的點P，不要漏解，這是同學(xué)們?nèi)菀缀雎缘牡胤剑?/div>