Question

（1）如圖1，矩形ABCD中，AB：BC=2：3，點E、F分別在邊AD和CD上，且AF⊥BE于O，求

AF

BE

的值；
（2）在上面的問題中，若

AF

BE

=k，通過變式，我們可以得到如下的兩個命題：
①若將AF沿直線AB方向平移到PQ，將BE沿直線AD方向平移到RS，然后將PQ與RS同時繞點O旋轉(zhuǎn)（保持PQ與RS垂直），則

PQ

RS

=k；
②設(shè)P、R、Q、S依次是矩形的邊AB、BC、CD、DA上的點，若=k，則PQ⊥RS．
（Ⅰ）判斷命題的真假性：①

 

；②

 

；（在橫線上填“真命題”或“假命題”）
（Ⅱ）若其中有假命題，請你在圖3中，用畫圖的方法舉反例進行說明；若以上兩個命題都是真命題，請選擇其中一個給予證明．

Answer 1

分析：（1）證明△ABE∽△DAF，即可得

AF

BE

的值；
（2）（Ⅰ）①是真命題；②是假命題；
（Ⅱ）①的證明：作PF⊥CD于點F，作RE⊥AD于點E，當PQ⊥SR時，可得△RES∽△PFQ，即可知

PQ

RS

的值；
②的反例：作SR′=SR，圖中

PQ

SR′

=

PQ

SR

=

3

2

，但PQ與SR′不垂直．

解答：解：（1）如圖1，∵AF⊥BE
∴△ABE∽△DAF
∴

AF

BE

=

AD

AB

=

3

2

；

（2）（Ⅰ）①是真命題；②是假命題；
（Ⅱ）①的證明：
如圖2，作PF⊥CD于點F，作RE⊥AD于點E，當PQ⊥SR時，
可得△RES∽△PFQ，
∴

PQ

RS

=

PF

RE

=

BC

AB

=

3

2

②的反例：
如圖3，作SR′=SR，圖中

PQ

SR′

=

PQ

SR

=

3

2

，
但PQ與SR′不垂直．

點評：本題考查了相似三角形的判斷和性質(zhì)以及命題的判斷及證明．