Question

如圖，在公路的同側(cè)有兩個(gè)村莊A、B，村莊A到公路的最短距離為AD=20千米（AD⊥CD），村莊B到公路的最短距離為BC=5千米（BC⊥CD），且CD=20千米．
（1）兩個(gè)村莊A、B之間的距離是多少千米？現(xiàn)要在C、D之間建造一個(gè)中轉(zhuǎn)站M，要求M到A、B兩個(gè)村莊的路程和最短，則中轉(zhuǎn)站M到A、B兩個(gè)村莊的路程和最短是________千米（結(jié)果保留根號(hào)）
（2）現(xiàn)要在公路上建一觀測(cè)點(diǎn)P，要求P、A、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，問(wèn)觀測(cè)點(diǎn)P應(yīng)建在距離C點(diǎn)多少千米的地方？

Answer 1

（1）解：過(guò)B作BF⊥AD于F，則四邊形BFDC是矩形，
即BF=DC=20，DF=BC=5，
所以AF=20-5=15，
在Rt△AFB中，由勾股定理得：AB==25，
即兩個(gè)村莊A、B之間的距離是25千米．
作A關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接BE交DC于M，則此時(shí)M點(diǎn)到A、B兩個(gè)村莊的路程和最短，
∵AD⊥DC，BC⊥DC，
∴AE∥BC，
∴△DEM∽△CBM，
∴===，
∴CM=CD=×20=4，DM=20-4=16，
∵在R△ADM和Rt△BCM中，由勾股定理得：AM===4，
BM==，
∴AM+BM=5，
故答案為：5．

（2）解：分為三種情況：
①以A為圓心，以AB為半徑畫弧交直線CD于P₁、P₂兩點(diǎn)，此兩點(diǎn)都符合題意；

AP₁=AP₂=AB=25，
由勾股定理得：DP₁==15=DP₂，
即CP₁=20+15=35，CP₂=20-15=5；
②以B為圓心，以AB為半徑畫弧交直線CD于P₃、P₄兩點(diǎn)，此兩點(diǎn)都符合題意；

則BP₃=BP₄=AB=25，
由勾股定理得：CP₃==10=CP₄；
③作AB的垂直平分線交直線CD于P₅，此點(diǎn)符合題意；

則AP₅=BP₅，
設(shè)DP₅=x，由勾股定理得：=20²+x²，=5²+（20-x）²，
即20²+x²=5²+（20-x）²，
x=，
∴CP₅=20-=19；
答：觀測(cè)點(diǎn)P應(yīng)建在距離C點(diǎn)35千米或5千米或10千米或19千米的地．
分析：（1）過(guò)B作BF⊥AD于F，得出矩形BCDF，根據(jù)勾股定理即可求出AB長(zhǎng)，作A關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接BE交DC于M，則此時(shí)M點(diǎn)到A、B兩個(gè)村莊的路程和最短，根據(jù)△DEM∽△CBM得出比例式求出CM、DM長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AM和BM即可；
（2）分為三種情況：①以A為圓心，以AB為半徑畫弧交直線CD于P₁、P₂兩點(diǎn)，此兩點(diǎn)都符合題意，根據(jù)勾股定理求出即可；②以B為圓心，以AB為半徑畫弧交直線CD于P₃、P₄兩點(diǎn)，此兩點(diǎn)都符合題意，根據(jù)勾股定理求出即可；③作AB的垂直平分線交直線CD于P₅，此點(diǎn)符合題意，根據(jù)勾股定理求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理和軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用進(jìn)行計(jì)算的能力，本題難度偏大，有一定的難度．