Question

等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P為BC的中點(diǎn)，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖a，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F時(shí)．求證：△BPE∽△CFP；
（2）操作：將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時(shí)，三角板的兩邊分別交BA的延長(zhǎng)線、邊AC于點(diǎn)E、F．
①探究1：△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫出結(jié)論）
②探究2：連接EF，△BPE與△PFE是否相似？請(qǐng)說明理由；
③設(shè)EF=m，△EPF的面積為S，試用m的代數(shù)式表示S．

Answer 1

分析：（1）找出△BPE與△CFP的對(duì)應(yīng)角，其中∠BPE+∠CPF=150°，∠CPF+∠CFP=150°，得出∠BPE=∠CFP，從而解決問題；
（2）①小題同前可證，②小題可通過對(duì)應(yīng)邊成比例證明，③小題求出△BPE中BE上的高，求出△PEF中EF上的高，得出關(guān)系式．

解答：（1）證明：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=150°，
又∠EPF=30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP（兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）．

（2）解：①△BPE∽△CFP；
②△BPE與△PFE相似．
下面證明結(jié)論：
同（1），可證△BPE∽△CFP，得

CP

BE

=

PF

PE

，而CP=BP，因此

BP

PF

=

BE

PE

．
又因?yàn)椤螮BP=∠EPF，所以△BPE∽△PFE（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似）．

③由②得△BPE∽△PFE，所以∠BEP=∠PEF．
分別過點(diǎn)P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分別為M、N，則PM=PN．
連AP，在Rt△ABP中，由∠B=30°，AB=8，可得AP=4．
所以PM=2

3

，所以PN=2

3

，
所以s=

1

2

PN×EF=

3

m．

點(diǎn)評(píng)：這是一道操作探究題，它改變了多年來?yè)P(yáng)州市最后一道壓軸題以二次函數(shù)為主線的呈現(xiàn)方式．它以每位學(xué)生都有的30°三角板在圖形上的運(yùn)動(dòng)為背景，既考查了學(xué)生圖形旋轉(zhuǎn)變換的思想，靜中思動(dòng)，動(dòng)中求靜的思維方法，又考查了學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究的能力．
問題的設(shè)置以問題串的形式呈現(xiàn)，層層推進(jìn)，第1問入手容易，第2問深入困難，有一定的區(qū)分度，使不同層次的學(xué)生有不同的收獲．
同時(shí)通過本題的解答，一使同學(xué)們領(lǐng)悟到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，二是提醒教師學(xué)生在平時(shí)的教學(xué)中要注意變式練習(xí)．
本題的第1問不難，用兩角相等即可證得相似，第2問中的①由第1問類比即得，②要用到①中對(duì)應(yīng)邊成比例代換后方可證得，③一般學(xué)生都能想到作高，卻想不到求這條高要用到角平分線、解直角三角形等知識(shí)．
實(shí)際上三角板運(yùn)動(dòng)到特殊位置還有一些結(jié)論，感興趣的學(xué)生不妨繼續(xù)研究．
要關(guān)注幾何圖形在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下幾何關(guān)系的不變性哦！