Question

已知：關(guān)于x的方程x²-（k+2）x+2x=0
（1）求證：無(wú)論取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a=1，另兩邊長(zhǎng)b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：△=（k+2）²-4•2k
=（k-2）²，
∵（k-2）²≥0，即△≥0，
∴無(wú)論取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）解：當(dāng)b=c時(shí)，△=（k-2）²=0，則k=2，
方程化為x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，
∴△ABC的周長(zhǎng)=2+2+1=5；
當(dāng)b=a=1或c=a=1時(shí)，
把x=1代入方程得1-（k+2）+2k=0，解得k=1，
方程化為x²-3x+2=0，解得x₁=1，x₂=2，
不符合三角形三邊的關(guān)系，此情況舍去，
∴△ABC的周長(zhǎng)為5．
分析：（1）先計(jì)算出△=（k+2）²-4•2k=（k-2）²，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和根的判別式的意義判斷方程根的情況；
（2）分類討論：當(dāng)b=c時(shí)，△=0，則k=2，再把k代入方程，求出方程的解，然后計(jì)算三角形周長(zhǎng)；當(dāng)b=a=1或c=a=1時(shí)，把x=1代入方程解出k=1，再解此時(shí)的一元二次方程，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行判斷．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系．