Question

如圖，等腰Rt△ABC中，AC=BC，以斜邊AB為一邊作等邊△ABD使點C、D在AB的同側(cè)，再以CD為一邊作等邊△CDE，使點C、E在AD的異側(cè)，若AE=1，求CD的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：延長DC交AB于點F，先證明△ACD≌△BCD，在由條件證明△ACD≌△AED就可以得出AC=AE=1，由勾股定理求出AB的值，就可以求出CF和DF的值，從而得出結(jié)論．

解答：解：延長DC交AB于點F，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∵△ADB是等邊三角形，
∴AD=AB=BD，∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，
∴∠DAC=∠DBC=15°．
在△ACD和△BCD中，

AD=BD ∠DAC=∠DBC AC=BC

，
∴△ACD≌△BCD（SAS），
∴∠ADC=∠BDC=30°．
∴DF⊥AB，
∴CF=

1

2

AB．
∵△EDC是等邊三角形，
∴ED=CD，∠EDC=60°．
∴∠ACD=∠ADE=30°．
在△ACD和△AED中，

CD=ED ∠ACD=∠ADE AD=AD

∴△ACD≌△AED（SAS），
∴AE=AC=1．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=

2

，
∴CF=AF=

2

2

，
在Rt△AFD中，由勾股定理，得
DF=

6

2

，
∴CD=

6 - 2

2

．
答：CD的長為

6 - 2

2

．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，等邊三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．