Question

 閱讀下面材料：

問題：如圖①，在△ABC中， D是BC邊上的一點(diǎn)，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的長．

小明同學(xué)的解題思路是：利用軸對稱，把△ADC進(jìn)行翻折，再經(jīng)過推理、計(jì)算使問題

得到解決．

（1）請你回答：圖中BD的長為    ；

（2）參考小明的思路，探究并解答問題：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的長．

                                                                                  

【解析】（1）利用三角形的內(nèi)角和和角平分線定理進(jìn)行解答，（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理求解

 

Answer 1

解：（1）. ………………………………2分

（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，連接DE，

∴△ADC≌△AEC.

∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA， DC＝EC.

∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，

∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.

∴△CDE為等邊三角形. ……………………3分

∴DC＝DE.

在AE上截取AF＝AB，連接DF，

∴△ABD≌△AFD.

∴BD＝DF.

在△ABD中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°，

∴∠ADE=∠AED =75°，∠ABD =105°.

∴∠AFD =105°.

∴∠DFE=75°.

∴∠DFE=∠DEF.

∴DF＝DE.  

∴BD＝DC＝2. ……………………………………………4分

作BG⊥AD于點(diǎn)G，

∴在Rt△BDG中， .  …………………………5分

∴在Rt△ABG中，.  …………………………6分