Question

△ABC中，如果A₁，A₂，A₃…A_n-1是邊AB的n等分點(diǎn)，分別過點(diǎn)A₁，A₂，A₃…A_n作BC的平行線，則截得的一個三角形與（n-1）個梯形的面積和比為

 

；如果所截得的部分面積相等，則AA₁：AA₂：AA₃…：AA_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：利用平行線可判定截得的三角形和原三角形相似，由相似三角形的性質(zhì)：面積比是相似比的平方，找到規(guī)律由規(guī)律填空即可．

解答：解：①當(dāng)n是AB的2等分點(diǎn)時，
∵A₁B₁∥BC，
∴△AA₁B₁∽△ABC，
∴AA₁：AB=1：2，
∴S_△AA1B1：S_△ABC=1：4，
∴S_△AA1B1：S_梯形A1B1CB=1：3；
②當(dāng)n是AB的3等分點(diǎn)時，
S_△AA2B2：S_梯形A2B2CB=1：8；
③當(dāng)n是AB的4等分點(diǎn)時，
S_△AA3B3：S_梯形A3B3CB=1：15，
…依此類推，
則截得的一個三角形，（n-1）個梯形的面積比為1：（n²-1），
故答案為：1：（n²-1）；
如果所截得的部分面積相等則則AA₁：AA₂：AA₃…：AA_n=1：

2

：

3

…：

n

，
故答案為：=1：

2

：

3

…：

n

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比是相似比的平方，由此找到問題的規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律解題是關(guān)鍵和突破口．