Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BD，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)M，使BM=DC，連接CM．
（1）AC與CM相等嗎？簡(jiǎn)述你的理由；
（2）若CD=3，AB=7，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰梯形性質(zhì)得出AC=BD，推出平行四邊形BMCD，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出即可；
（2）求出△ACM是等腰直角三角形，求出AM，根據(jù)勾股定理求出CM，求出AC和BD，根據(jù)梯形ABCD的面積等于

1

2

×AC×BD求出即可．

解答：解：（1）相等，理由是：
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∵AB∥CD，
∴BM∥DC，
∵BM=DC，
∴四邊形BMCD是平行四邊形，
∴CM=BD，
∴AC=CM；

（2）∵BD∥CM，AC⊥BD，
∴AC⊥CM，
∴∠ACM=90°，
∵AC=CM，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∵AB=7，BM=CD=3，
∴AM=3+7=10，
∴由勾股定理得：CM=AC=BD=5

2

，
∴梯形ABCD的面積是

1

2

×AC×BD=

1

2

×5

2

×5

2

=25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．