Question

（2003•黃石）二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，3），若△ABC的面積為9，求此二次函數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)過C（0，3），那么c=3，三角形ABC的面積為9，而高就是C的縱坐標(biāo)的絕對值，那么AB=6，因此A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差的絕對值就應(yīng)該是6，那么他們差的平方就是36，要想使這個(gè)式子和函數(shù)關(guān)聯(lián)起來，那么可設(shè)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程x²+bx+3=0的兩個(gè)根，那么根據(jù)這兩個(gè)根的差的平方為36，和為-6，積是3，可將兩根的完全平方差公式轉(zhuǎn)換成完全平方和公式，這樣就能求出b的值，有了b的值，也就求出了二次函數(shù)的解析式，那么根據(jù)解析式可用公式法或配方法來求出二次函數(shù)的最小值．
解答：解：設(shè)A（m，0），B（n，0），則m，n是方程x²+bx+c=0的兩個(gè)根，
∵y=x²+bx+c過點(diǎn)C（0，3），
∴c=3，
又∵S_△ABC=|AB|•|OC|=|AB|•3=9，
∴|AB|=6，
∴|m-n|=6，
即（m+n）²-4mn=36，
而，
∴b²-12=36，b=±4，
∴y=x²±4x+3=（x±2）²-9，
∴所求的最小值為-9．
點(diǎn)評：本題中二次函數(shù)與方程的關(guān)系，本題中利用三角形的面積和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來確定二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵所在．