Question

已知，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，D是線段BC上一點(diǎn)，以AD為邊，在AD的右側(cè)作正方形ADEF．直線AE與直線BC交于點(diǎn)G，連接CF．

（1）如圖1，當(dāng)BD＜1時(shí)，求證：△ACF≌△ABD；

（2）如圖2，當(dāng)BD＞1時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中作出相應(yīng)的圖形，猜測(cè)線段CF與線段BD的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）連接GF，判斷當(dāng)線段BD為何值時(shí)，△GFC是等腰三角形．

Answer 1

（2）作圖如右：…………………………………（4分）

猜測(cè)：CF=BD，CF⊥BD………………………（6分）

理由是：同（1）可得△ABD≌△ACF

∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=∠ACB=45°

∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD………………………（8分）

（3）連接GF

∵AE是正方形ADEF的對(duì)角線

∴∠FAE=∠DAE=45°

又AD=AF，AG=AG

∴△AFG≌△ADG

∴FG=DG………………………………………………（10分）

若Rt△CFG是等腰三角形，則CG=CF

設(shè)CF=x，得CG=CF=BD=x

①如圖3，當(dāng)BD＜1時(shí)，F(xiàn)G=DG=2﹣2x

在Rt△CFG中，根據(jù)勾股定理得

FG²=CG²+CF²

∴（2﹣2x）²=2x²

解得：x₁=2+＞1（舍去），x₂=2﹣…………（12分）

②如圖4，當(dāng)BD＞1時(shí)，∵CG=BD

∴FG=DG=BC=2

在Rt△CFG中，根據(jù)勾股定理得

FG²=CG²+CF²，2²=2x²

解得：x₁=﹣（舍去），x₂=

綜上所得，當(dāng)BD等于2﹣ 或 時(shí)，

△CFG是等腰三角形…