Question

如圖，∠AOB=90°，將三角尺的直角頂點落在∠AOB的平分線OC的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別相交于點E、F．
證明：PE=PF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,角平分線的性質

專題：證明題

分析：過點P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，就可以得出PM=PN，四邊形PMON是矩形，就可以得出∠MPN=90°，可以求出∠MPE=∠NPF，證△MPE≌△NPF就可以得出結論．

解答：解：過點P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，
∴∠PME=∠PNF=90°，
∵∠AOB=90°，
∴四邊形PMON是矩形，
∴∠MPN=90°．
∵∠EPF=90°，
∴∠MPN=∠EPF，
∴∠MPE-∠MPN=∠EPF-∠MPN，
∴∠MPE=∠NPF．
∵OP平分∠AOB，
∴PM=PN．
在△MPE和△NPF中，

∠MPE=∠NPF ∠PME=∠PNF PM=PN

，
∴△MPE≌△NPF（AAS），
∴PE=PF．

點評：本題考查了角平分線的性質的運用，矩形的判定及性質的運用，等式的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．