Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)M在第一象限，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交與點(diǎn)C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果△ABM是直角三角形，AB=2，OM=

5

．
（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得出△AMB是等腰直角三角形，則可求出ME，繼而求出OE，這樣就得出了點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)，可得出A、B的坐標(biāo)，繼而利用待定系數(shù)法可求出拋物線解析式．
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，y），分別表示出PA²，PC²，然后分三種情況討論即可，①當(dāng)∠PAC=90°時(shí)，②當(dāng)∠PCA=90°時(shí)，③當(dāng)∠APC=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理求出點(diǎn)y的值，繼而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）

∵點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，
∴MA=MB，
又∵△ABM是直角三角形，
∴△AMB是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴ME=1，
在Rt△OME中，可得OE=

OM2-ME2

=2，
故可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）．
（2）∵AE=BE=

1

2

AB=1，OE=2，
∴OA=1，OB=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
將點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得：

a+b+c=0 9a+3b+c=0 4a+2b+c=1

，
解得：

a=-1 b=4 c=-3

，
故拋物線的解析式為：y=-x²+4x-3．
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，y），
則AC²=10，AP²=1+y²，CP²=4+（y+3）²，
①當(dāng)∠PAC=90°時(shí)，AC²+AP²=CP²，即10+1+y²=4+（y+3）²，
解得：y=-

1

3

，
即此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-

1

3

）；
②當(dāng)∠PCA=90°時(shí)，AC²+CP²=AP²，即10+4+（y+3）²=1+y²，
解得：y=-

11

3

，
即此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-

11

3

）；
③當(dāng)∠APC=90°時(shí)，AP²+CP²=AC²，即1+y²+4+（y+3）²=10，
解得：y=-1或-2，
即此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-1）或（2，-2）；
綜上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-

1

3

）或（2，-

11

3

）或（2，-1）或（2，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線圖象的性質(zhì)及直角三角形的判定，綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)在第三問，關(guān)鍵是表示出AC²、AP²、CP²，然后分類討論．