Question

如圖所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），點(diǎn)D是線段BC上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過點(diǎn)D作直線y=﹣x+b交折線OAB于點(diǎn)E．
（1）記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形O₁A₁B₁C₁，試探究O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形OABC是矩形， 點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1）， ∴B（3，1）， 若直線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）時，則b=； 若直線經(jīng)過點(diǎn)B（3，1）時，則b=； 若直線經(jīng)過點(diǎn)C（0，1）時，則b=1． ①若直線與折線OAB的交點(diǎn)在OA上時，即1<b≤， 如圖1，此時E（2b，0）， ∴S=OE·CO=×2b×1=b； ②若直線與折線OAB的交點(diǎn)在BA上時，即<b<，如圖2， 此時E（3，），D（2b﹣2，1）， ∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE） =3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）·（﹣b）+×3（b﹣）] =b﹣b2， ∴； （2）如圖3，設(shè)O1A1與CB相交于點(diǎn)M，OA與C1B1相交于點(diǎn)N，則矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積． 由題意知，DM∥NE，DN∥ME， ∴四邊形DNEM為平行四邊形， 根據(jù)軸對稱知：∠MED=∠NED， 又∵∠MDE=∠NED， ∴∠MED=∠MDE， ∴MD=ME， ∴平行四邊形DNEM為菱形． 過點(diǎn)D作DH⊥OA，垂足為H， 由題意知，D（2b﹣2，1），E（2b，0）， ∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2， ∴HN=HE﹣NE=2﹣a， 設(shè)菱形DNEM的邊長為a，則在Rt△DHN中， 由勾股定理知：a2=（2﹣a）2+12， ∴a=， ∴S四邊形DNEM=NE·DH=． ∴矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為．