Question

方案設計：兒童公園有一塊半圓形空地，如圖11所示，根據(jù)需要欲在此半圓內劃出一個三角形區(qū)域作為健身場地，其中內接于此三角形的矩形區(qū)域為兒童游樂場，已知半圓的直徑AB=100米，若使三角形的頂點C在半圓上，且AC=80米．
那么請你幫設計人員計算一下：△ABC中，C到AB的距離是多少米？如果使矩形游樂場DEFN面積最大，此矩形的高DN應為何值？
在實際施工時，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點18.5米處有一棵古樹，那么這棵樹是否位于最大游樂場的邊上？若在，為保護古樹，請你設計出另外的方案以避開古樹．

Answer 1

考點：相似三角形的應用,勾股定理,相似三角形的判定與性質,銳角三角函數(shù)的定義

專題：

分析：（1）首先利用勾股定理得出BC的長，進而利用得出△ABC的面積求出即可；
（2）利用△CNF∽△CAB，得出

h-DN

h

=

NF

AB

，進而得出矩形面積表達式，利用二次函數(shù)最值求出即可；
（3）利用由圓的對稱性，以AB的垂直平分線為對稱軸作C的對稱點C′，出答案即可．

解答：解：（1）如圖，∵AB是直徑，且AB=100，AC=80，
∴BC=

1002-802

=60，（2分）
∴S△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•h，（4分）
即60×80=100h，
∴h=48．
∴C到AB 距離為48米．（6分）

（2）設DN為x米，則∵△CNF∽△CAB，
∴

h-DN

h

=

NF

AB

．
∴NF=

100(48-x)

48

，（9分）
∴S矩形DEFN=x•

100(48-x)

48

=-

25

12

x2+100x，（11分）
當x=24時，游樂場面積最大．（12分）

（3）當游樂場面積最大時，DN=EF=24米，

EF

BE

=tan∠ABC=

AC

BC

=

8

6

=

4

3

，

DN

AD

=tan∠BAC=

BC

AC

=

6

8

=

3

4

．
易得BE=18米，AD=32米．（15分）
則BD=68米，又BM=18.5米，
∴BE＜BM＜BD，
∴大樹位于欲修建的游樂場邊上，應重新設計方案．（17分）
由圓的對稱性，可把△ABC劃分到半圓的左邊．（20分）

點評：此題主要考查了相似三角形的應用以及二次函數(shù)最值求法，利用相似三角形的性質得出比例式進而求出是解題關鍵．