Question

（2012•懷化）如圖，拋物線m：y=-

1

4

（x+h）²+k與x軸的交點(diǎn)為A、B，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為M（3，

25

4

），將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線n，它的頂點(diǎn)為D；
（1）求拋物線n的解析式；
（2）設(shè)拋物線n與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，點(diǎn)P是線段ED上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與E、D重合），過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為F，連接EF．如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PEF的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；
（3）設(shè)拋物線m的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G，以G為圓心，A、B兩點(diǎn)間的距離為直徑作⊙G，試判斷直線CM與⊙G的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）本問涉及拋物線的旋轉(zhuǎn)變換，首先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)D、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到拋物線n的解析式；注意由于開口方向相反，兩個(gè)拋物線的a值也相反；
（2）本問可依次確定S的關(guān)系式、自變量x的取值范圍，最后求出最大值．注意：①欲求S的關(guān)系式，首先需要用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式；②求得關(guān)系式S=-

5

8

（x-9）²+

405

8

后確定最大值時(shí)，不能簡(jiǎn)單套用“當(dāng)x=9時(shí)，最大值為…”，這樣就錯(cuò)了，因?yàn)閤=9不在自變量的取值范圍內(nèi)；
（3）本問結(jié)論：直線CM與⊙G相切．結(jié)合題意，欲證明直線CM與⊙G相切，需要完成兩個(gè)步驟：①證明點(diǎn)C在⊙G上，②證明CM垂直于半徑GC．

解答：解：（1）依題意，拋物線m的解析式為：y=-

1

4

（x-3）²+

25

4

=-

1

4

（x-8）（x+2），
∴A（-2，0），B（8，0）．
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，點(diǎn)D與點(diǎn)M（3，

25

4

）關(guān)于點(diǎn)B（8，0）成中心對(duì)稱，
∴D（13，-

25

4

），
∴拋物線n的解析式為：y=

1

4

（x-13）²-

25

4

．

（2）∵拋物線n：y=

1

4

（x-13）²-

25

4

=

1

4

（x-8）（x-18），∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（18，0）．
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，則有：

18k+b=0 13k+b=- 25 4

，解得k=

5

4

，b=-

45

2

，
∴直線DE的解析式為：y=

5

4

x-

45

2

．
如題圖所示，S=

1

2

PF•OF=

1

2

x•（-y）=-

1

2

x•（

5

4

x-

45

2

）=-

5

8

（x-9）²+

405

8

；
∵點(diǎn)P是線段ED上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與E、D重合），∴13＜x＜18；
∴S=-

5

8

（x-9）²+

405

8

（13＜x＜18），
可見該拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x=9，函數(shù)圖象位于對(duì)稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而減小，故S在13＜x＜18范圍內(nèi)沒有最大值．
所以S與x的函數(shù)關(guān)系式為S=-

5

8

（x-9）²+

405

8

，自變量取值范圍是13＜x＜18，S沒有最大值．

（3）結(jié)論：直線CM與⊙G相切．理由如下：
∵拋物線m的解析式為：y=-

1

4

（x-3）²+

25

4

，令x=0，解得y=4，∴C（0，4）．
在Rt△COG中，由勾股定理得：CG=

OG2+OC2

=

32+42

=5，
又∵⊙G半徑為5，∴點(diǎn)C在⊙G上．
如右圖所示，依題意作出⊙G，連接CG、CM、MG，過點(diǎn)C作CH⊥MG于點(diǎn)H，則CH=3，HG=4，MH=

25

4

-4=

9

4

，
∵

CH

HG

=

MH

CH

=

3

4

，CH⊥MG，
∴△CHG∽△MHC，∴∠MCH=∠CGH；
又∠HCG+∠CGH=90°，∴∠HCG+∠MCH=90°，即GC⊥MC．
（注：此處亦可用勾股定理的逆定理證明△MCG為直角三角形）
綜上所述，點(diǎn)C在⊙G上，且滿足GC⊥MC，
∴直線CM與與⊙G相切．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圖形變換、極值、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及圓與直線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度．第（2）問中，考查二次函數(shù)在指定區(qū)間上的極值，這是本題的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，需要引起注意．