(2006•天津)已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4).
(Ⅰ)試用含a的代數(shù)式分別表示b,c;
(Ⅱ)若直線y=kx+4(k≠0)與y軸及該拋物線的交點(diǎn)依次為D、E、F,且,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),試用含a的代數(shù)式表示k;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若線段EF的長(zhǎng)m滿足3≤m≤3,試確定a的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來表示出拋物線的解析式,展開后即可得出b、c的表達(dá)式;
(Ⅱ)可先聯(lián)立直線與拋物線的解析式,可得出一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,那么這個(gè)方程的解即為E、F點(diǎn)的橫坐標(biāo),那么可根據(jù)△ODE和△OEF的面積比以及韋達(dá)定理來求k的表達(dá)式;
(Ⅲ)可根據(jù)E、F的坐標(biāo),運(yùn)用坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式表示出m,然后根據(jù)韋達(dá)定理和m的取值范圍來求出a的取值范圍.
解答:解:(I)由已知,可設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為y=a(x-2)2+4(a≠0),
即y=ax2-4ax+4a+4.
∴b=-4a,c=4a+4;
(II)設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),
由方程組消去y,
得ax2-(4a+k)x+4a=0  (*),
∴x1+x2=①,
x1•x2=4 ②,
又∵,

,

即|x2|=4|x1|,
由②,知x1與x2同號(hào),
∴x2=4x1③,
由②、③,
得x1=1,x2=4;x1=-1,x2=-4,
將上面數(shù)值代入①,
=±5,
解得k=a或k=-9a,
經(jīng)驗(yàn)證,方程(*)的判別式△>0成立,
∴k=a或k=-9a;
(III)∵m2=(x2-x12+(y2-y12
而(x2-x12=9,
由y1=kx1+4,y2=kx2+4,
得(y2-y12=k2(x2-x12=9k2
∴m2=9(1+k2),
即m=3,
由已知3≤m≤3
,
即1≤k2≤4,
∴1≤k≤2或-2≤k≤-1,
當(dāng)k=a時(shí),有1≤a≤2或-2≤a≤-1,
當(dāng)k=-9a時(shí),有1≤-9a≤2或-2≤-9a≤-1,
即-≤a≤-≤a≤
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,以及一元二次方根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn).
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(Ⅱ)這兩個(gè)函數(shù)圖象還有其他交點(diǎn)嗎?若有,請(qǐng)求出交點(diǎn)的坐標(biāo);若沒有,請(qǐng)說明理由.

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