Question

已知拋物線y=x²-mx+m-2；
（1）求證：拋物線y=x²-mx+m-2與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）若m是整數(shù)，拋物線y=x²-mx+m-2與x軸交于整數(shù)點(diǎn)，求m的值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為A，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)交點(diǎn)為B．在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)M，使得△MAB為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)△=m²-4m+8=（m-2）²+4＞0，得出此拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）根據(jù)求根公式得出（m-2）²+4為完全平方數(shù)時(shí)，此拋物線與x軸才有可能交于整數(shù)點(diǎn)，進(jìn)而得出m，n的值，即可得出答案；
（3）根據(jù)m=2，分別討論當(dāng)MA=MB時(shí)，當(dāng)BA=BM時(shí)，當(dāng)BA=AM時(shí)，利用勾股定理得出M點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）證明：令y=0，則x²-mx+m-2=0．
因?yàn)椤?m²-4m+8
=（m-2）²+4＞0，
所以此拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（2）因?yàn)殛P(guān)于x的方程x²-mx+m-2=0的根為，
由m為整數(shù)，當(dāng)（m-2）²+4為完全平方數(shù)時(shí)，此拋物線與x軸才有可能交于整數(shù)點(diǎn)．
設(shè)（m-2）²+4=n²（其中n為整數(shù)），
則[n+（m-2）][n-（m-2）]=4
因?yàn)閚+（m-2）與n-（m-2）的奇偶性相同，
所以或，
解得或；
經(jīng)過檢驗(yàn)，當(dāng)m=2時(shí)，方程x²-mx+m-2=0有整數(shù)根，且（m-2）²+4為完全平方數(shù)，
所以m=2．

（3）當(dāng)m=2時(shí)，此二次函數(shù)解析式為y=x²-2x=（x-1）²-1，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）．
拋物線與x軸的交點(diǎn)為O（0，0）、B（2，0）
當(dāng)MA=MB時(shí)，
設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M₁，則M₁（1，0）．
在直角三角形AM₁O中，由勾股定理，得．
由拋物線的對稱性可得，．
又，即OA²+AB²=OB²．
所以△ABO為等腰直角三角形．
則M₁A=M₁B．
所以M₁（1，0）為所求的點(diǎn)．
若滿足條件的點(diǎn)M₂在y軸上時(shí)，設(shè)M₂坐標(biāo)為（0，y），
過A作AN⊥y軸于N，連接AM₂、BM₂，則M₂A=M₂B．
由勾股定理，有；，
即（y+1）²+1²=y²+2²．
解得y=1．
所以M₂（0，1）為所求的點(diǎn)．
所以M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（0，1）．
當(dāng)BA=BM時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)為（2+，0）或（2-，0）．
當(dāng)BA=AM時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）．
綜上所述，滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）或（0，1）、（0，0）、（2+，0）、（2-，0）．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及勾股定理以及根的判別式和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，利用分類討論得出答案是解題關(guān)鍵．