Question

如圖，不等邊△ABC內接于⊙O，I是其內心，且AI⊥OI．
求證：AB+AC=2BC．

Answer 1

證明：延長AI交⊙O于D，連接OA、OD、BD和BI，
∵OA=OD，OI⊥AD，
∴AI=ID，
又∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠CBI，
=（∠BAC+∠ABC）=∠DIB，
因此，BD=ID=AI，
易證=，
故OD⊥BC，記垂足為E，則有BE=BC，
作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，
∴Rt△BDE≌Rt△AIG，
于是，AG=BE=BC，但AG=（AB+AC-BC），
故AB+AC=2BC．

分析：延長AI交⊙O于D，連接OA、OD、BD和BI，可得BD=ID=AI．易證=，則OD⊥BC，作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，則BD=AI，所以Rt△BDE≌Rt△AIG，從而得出AB+AC=2BC．
點評：本題考查了三角形的內切圓和全等三角形的判定和性質．