Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)（2，3），線段垂直于軸，垂足為，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，直線與軸的交于點(diǎn)．

（1）試求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）試求經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式，并寫(xiě)出其頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）中所求拋物線的對(duì)稱軸上找點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與△相似．

 

Answer 1

【答案】

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．                                                 

        設(shè)直線的表達(dá)式為．

        易得  解得             

        所以直線的表達(dá)式為．

        當(dāng)時(shí)，，．

        所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．              

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式

為（）             

        易得                   

解得                                                             

        因此，所求的拋物線的表達(dá)式為．  

        其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (，)．                                                 

（3）點(diǎn)在的對(duì)稱軸(即直線)上，所以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，）．

        由題意可得 ，，

        ∴ , ．

        所以若以、、為頂點(diǎn)的三角形與△相似，必有一個(gè)角的度數(shù)為，

由此可得點(diǎn)必定在點(diǎn)的上方，

，                                       

        所以當(dāng)或時(shí)，

以、、為頂點(diǎn)的三角形與△相似．                              

由點(diǎn)（，）、（，）、（2，3）、(，)易得

，，．

        ∴或．

        解得 或．                                      

        故符合題意的點(diǎn)有兩個(gè)，其坐標(biāo)為（1,5）或（1,6）．                       

【解析】（1）已知A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)AB的長(zhǎng)以及線段AB的旋轉(zhuǎn)條件確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定直線BC的解析式，進(jìn)一步能求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（2）利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，通過(guò)配方能得到頂點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（3）首先畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，能判斷出∠ACD=135°，結(jié)合A、E的坐標(biāo)，首先確定點(diǎn)F的大致位置，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．