Question

如圖，在一條公路CD的同一側(cè)有A、B兩個(gè)村莊，A、B與公路的距離AC、BD分別為500m和700m，且C、D兩地相距500m，若要公路旁（在CD上）建一個(gè)車站，則A、B兩村莊到車站的距離之和最短是（ ）.

A．1000m      (B)1200m      (C)1300m       (D)1700m 

Answer 1

C

本題即是要在CD上找一個(gè)點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)P），使AP+PB的和最�。�設(shè)A′是點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)A′、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PB的和最�。�

解：延長(zhǎng)AC到A′，使A′C=AC，則A′與點(diǎn)A關(guān)于CD對(duì)稱．
連接A′B交CD于點(diǎn)P，連接PA，此時(shí)AP+PB的和最�。�
∵A′與點(diǎn)A關(guān)于CD對(duì)稱，
∴PA′=PA，
∴AP+PB=A′P+PB=A′B．
過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為點(diǎn)E．
在直角△A′BE中，BE=CD=500m，A′E=A′C+CE=AC+BD=1200m，
由勾股定理，得A′B==1300m．
∴AP+PB=1300m．
故A、B兩村莊到集貿(mào)市場(chǎng)的距離之和最短是1300m．
故選C．
本題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問(wèn)題，作出其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形并利用兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．