Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4

3

，BC=4．點(diǎn)M是AC上動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合，且M在DN右邊），設(shè)AM=x，過點(diǎn)M作AC的垂線，交直線AB于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)△AND的面積為

8 3

3

時(shí)，求x的值；
（2）以D、M、N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的△DMN的面積能否達(dá)到矩形ABCD面積的

1

8

？若能，請(qǐng)求出此時(shí)x的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知條件和三角形的面積公式可求出AN的值，再利用銳角三角函數(shù)值即可求出AM的值即x的值；
（2）能，過D作DH⊥AC，垂足為H，有銳角三角函數(shù)關(guān)系用含x的代數(shù)式表示出MN，HM的值，再根據(jù)題意列出方程，解方程即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD=4

3

，AD=BC=4，∠B=90°，
∴tan∠CAB=

BC

AB

=

4

4 3

=

3

3

，
∴∠CAB=30°，
∵S△AND=

1

2

×AD×AN=

8 3

3

，
∴AN=

4 3

3

，
∴

AM

AN

=

AM

4 3 3

=

3

2

，
∴x=AM=2；

（2）能．理由如下：
過D作DH⊥AC，垂足為H，則HM的長等于△DMN中MN邊上的高．
有（1）可知∠BAC=∠ADH=30°，
MN=xtan30°=

3 x

3

，AH=ADsin30°=

AD

2

=2，HM=x-2，
矩形面積的

1

8

為：

1

8

×4

3

×4=2

3

，
由題意列方程得

1

2

×

3

3

x（x-2）=2

3

，
原方程可化為x²-2x-12=0，
解得：x=1+

13

或x=1-

13

（舍）
答：以D、M、N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的△DMN的面積能到矩形ABCD面積的

1

8

，此時(shí)x的值為1+

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)關(guān)系、三角形的面積公式以及一元二次方程的應(yīng)用，題目的難度不大，但綜合性很強(qiáng)．