Question

（2004•內江）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（k，0）（k＜0）、B（3，0）兩點，與y軸正半軸交于C點，且tan∠CAO=3．
（1）求此拋物線的解析式（系數中可含字母k）；
（2）設點D（0，t）在x軸下方，點E在拋物線上，若四邊形ADEC為平行四邊形，試求t與k的函數關系式；
（3）若題（2）中的平行四邊形ADEC為矩形，試求出D的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據A的坐標，可得出OA的長，根據∠CAO的正切值可求出OC的長，也就能求出C點的坐標．然后根據A、B、C三點的坐標，用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）要想使四邊形ADEC為平行四邊形，AC與DE必須平行且相等．根據∠CAO的正切值可得出直線AC的斜率．也就得出了直線DE的斜率，聯(lián)立直線DE和拋物線的解析式求出E點的坐標．由于AC=DE，可用E點的坐標求出DE的長，進而得出t，k的函數關系式；
（3）由于四邊形ADEC為矩形，那么AD⊥AC，即直線AC與直線AD的斜率的積為-1．由此可得出t與k的函數關系式．聯(lián)立（2）的關系式即可得出關于t，k的方程．可求出此時t，k的值．
解答：解：（1）∵tan∠CAO=3，A（k，0）
（k＜0），又C點在y軸正半軸上
∴C（0，-3k）
∵A（k，o），B（3，0），C（0，-3k）都在拋物線上
∴
∴解得：
∴拋物線為：y=-x²+（k+3）x-3k；

（2）∵DE∥AC，tan∠CAO=3
∴直線DE的斜率為：3，又過點D（0，t）
∴直線DE為：y=3x+t
∴聯(lián)解．
可得交點為E（，+t）
又∵要使ADEC為平行四邊形
∴DE=AC
∴（）²+（+t）²=（k）²
∵k＜0
∴t=-2k²-3k（k＜0）；

（3）∵要使平行四邊形ADEC為矩形
∴∠ADE=90°．
∴k_AC•k_AD=-1．
即：3×=-1，
∴k=3t．
又∵t=-2k²-3k
∴由．
得t=-或t=0（舍）
∴D點的坐標為（0，-）．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、解直角三角形、平行四邊形的判定、矩形的判定和性質等知識點，（2）、（3）中利用好一次函數平行和垂直時斜率的關系是解題的關鍵．要牢記一次函數的斜率公式：k=．