Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P（0，2）任意作一條與拋物線y=ax²（a＞0）交于兩點(diǎn)的直線，設(shè)交點(diǎn)分別為A，B，若∠AOB=90°．
（1）判斷A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的乘積是否為一個(gè)確定的值，并說明理由；
（2）確定拋物線y=ax²（a＞0）的解析式．

Answer 1

分析：（1）設(shè)過點(diǎn)P（0，2）的直線AB的解析式為y=kx+2，由

y=kx+2① y=ax2②

，得ax²-kx-2=0③，再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知x₁，x₂是方程③的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x₁+x₂=

k

a

，x₁•x₂=-

2

a

，進(jìn)而求出y₁•y₂=4，從而說明A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的乘積是一個(gè)確定的值；
（2）作AM⊥x軸于點(diǎn)M，BN⊥y軸于點(diǎn)N，先由∠AOB=90°，根據(jù)平角的定義得出∠AOM+∠BON=90°，由同角的余角相等得出∠AOM=∠OBN，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，證明Rt△AOM∽R(shí)t△OBN，得到

AM

ON

=

OM

BN

，將A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得出-x₁•x₂=y₁•y₂，即-（-

2

a

）=4，解方程求出a=

1

2

，從而得到拋物線的解析式．

解答：解：（1）A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的乘積為一個(gè)確定的值，理由如下：
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+2．
由

y=kx+2① y=ax2②

，得ax²-kx-2=0 ③．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，
則x₁，x₂是方程③的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
所以x₁+x₂=

k

a

，x₁•x₂=-

2

a

，
所以y₁•y₂=a

x

2 1

•a

x

2 2

=a²•（x₁•x₂）²=a²•（-

2

a

）²=4；
所以A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的乘積為常數(shù)4，是一個(gè)確定的值；

（2）作AM⊥x軸于點(diǎn)M，BN⊥y軸于點(diǎn)N．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOM+∠BON=90°，
∴∠AOM=∠OBN，
∴Rt△AOM∽R(shí)t△OBN，
∴

AM

ON

=

OM

BN

，
∴

y1

x2

=

-x1

y2

，即-x₁•x₂=y₁•y₂，
∴-（-

2

a

）=4，解得a=

1

2

．
所以拋物線的解析式為y=

1

2

x²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．