Question

如圖，一次函數(shù)y₁=k₁x+2與反比例函數(shù)y2=

k2

x

的圖象交于點(diǎn)A（4，m）和B（-8，-2），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）求當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，x的取值范圍；
（3）過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P是反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點(diǎn)．設(shè)直線OP與線段AD交于點(diǎn)E，當(dāng)S_{四邊形ODAC}：S_△ODE=3：1時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：（1）先把B點(diǎn)坐標(biāo)代入入y₁=k₁x+2可確定一次函數(shù)解析式為y₁=

1

2

x+2；再把B（-8，-2）代入y2=

k2

x

可確定反比例函數(shù)解析式為y₂=

16

x

；
（2）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)-8＜x＜0或x＞4，一次函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象上方；
（3）先確定點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2），再計(jì)算出S_梯形ODAC=12，由S_梯形ODAC：S_△ODE=3：1得S_△ODE=

1

3

×12=4，則

1

2

OD•DE=4，所以DE=2，于是點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，2），然后確定直線OP的解析式為y=

1

2

x，最后解方程組

y= 1 2 x y= 16 x

可確定P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）把B（-8，-2）代入y₁=k₁x+2得-8k₁+2=-2，解得k₁=

1

2

，所以一次函數(shù)解析式為y₁=

1

2

x+2；
把B（-8，-2）代入y2=

k2

x

得k₂=-8×（-2）=16，所以反比例函數(shù)解析式為y₂=

16

x

；
（2）-8＜x＜0或x＞4；
（3）把A（4，m）代入y₂=

16

x

得4m=16，解得m=4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，4），
而點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2），
∴CO=2，AD=OD=4．
∴S_梯形ODAC=

1

2

（2+4）×4=12，
∵S_梯形ODAC：S_△ODE=3：1，
∴S_△ODE=

1

3

×12=4，
∴

1

2

OD•DE=4，
∴DE=2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，2）．
設(shè)直線OP的解析式為y=kx，把E（4，2）代入得4k=2，解得k=

1

2

，
∴直線OP的解析式為y=

1

2

x，
解方程組

y= 1 2 x y= 16 x

得

x=4 2 y=2 2

或

x=-4 2 y=-2 2

，
∴P的坐標(biāo)為（4

2

，2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．也考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式和觀察函數(shù)圖象的能力．