Question

如圖，二次函數(shù)y=x²+px+q（p＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-1），△ABC的面積為

5

4

．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形ACBD為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由△ABC的面積為

5

4

，可得AB×OC=

5

2

，又二次函數(shù)y=x²+px+q（p＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-1）可求得該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）四邊形ABCD為直角梯形，要分類討論，即究竟那條邊為底．可以分別以AC、BC為底進(jìn)行討論．

解答：解：（1）∵OC=1，
∴q=-1，
∵△ABC的面積為

5

4

．
∴

1

2

OC×AB=

5

4

，
解得：AB=

5

2

，
設(shè)A（a，0），B（b，0），
則a、b是一元二次方程x²+px-1=0兩個(gè)根，
∴a+b=-p，ab=-1，
∴AB=b-a=

(a+b)2-4ab

=

5

2

，
解得p=±

3

2

，
又∵p＜0，
∴p=-

3

2

．
所以解析式為：y=x²-

3

2

x-1；

（2）存在，AC⊥BC，
令y=0，則0=x²-

3

2

x-1，
解得：x₁=-

1

2

，x₂=2，
∴A（-

1

2

，0），C（0，-1），
①若以AC為底邊，則BD∥AC，
將A，C點(diǎn)代入y=ax+b得：

- 1 2 a+b=0 b=-1

，
解得：

a=-2 b=-1

，
∴AC的解析式為：y=-2x-1，
可設(shè)BD的解析式為y=-2x+b，
把B（2，0）代入得BD解析式為y=-2x+4，
解方程組

y=x2- 3 2 x-1 y=-2x+4

得D（-

5

2

，9）
②若以BC為底邊，則BC∥AD，
將B（2，0），C（0，-1）代入y=kx+c中，

2k+b=0 b=-1

，
解得：

k=0.5 b=-1

∴BC的解析式為y=0.5x-1，
可設(shè)AD的解析式為y=0.5x+b，把A（

1

2

，0）代入
得AD解析式為y=0.5x+0.25，
解方程組

y=x2- 3 2 x-1 y=0.5x+0.25

，
得D（

5

2

，

3

2

）
綜上，所以存在兩點(diǎn)：（-

5

2

，9）或（

5

2

，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及直角梯形的判定方法，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．