Question

如圖，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE，AC=BC，CD=CE，M、N分別為AE、BD的中點．
（1）判斷CM與CN的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系：
（2）若△CDE繞C旋轉(zhuǎn)任意角度，其它條件不變，則（1）的結(jié)論是否仍成立？試證明．

Answer 1

分析：（1）證△ACE≌△BCD，推出AE=BD，根據(jù)直角三角形斜邊上中線得出CM=CN，推出∠MAC=∠MCA，∠NDC=∠NCD，即可得出答案；
（2）證△ACE≌△BCD，推出AE=BD，證△ECM≌△NDC，即可得出答案．

解答：解：（1）CM=CN，MC⊥CN，
理由是：∵∠ACE=∠BCD=90°，
∴在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，
∵∠ACE=∠BCD=90°，M為AE中點，N為BD中點，
∴CM=AM=ME=

1

2

AE，CN=DN=BN=

1

2

BD，
∴CM=CN，∠MAC=∠MCA，∠NDC=∠NCD，
∵∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，
∴∠MCA+∠NCD=90°，
∴∠MCN=180°-90°=90°，
即MC⊥CN．

（2）成立，
證明：∵∠ACE=∠BCD=90°，∠ECB=∠ECB，
∴∠ECA=∠DCB，
∴在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，
∵M、N分別為AE、BD中點，
∴EM=DN，
在△MEC和△NDC中

ME=DN ∠MEC=∠NDC EC=DC

∴△MEC≌△NDC，
∴CM=CN，∠ECM=∠NCD，
∴∠MCN=∠ECM+∠ECN=∠NCD+∠ECN=∠ECD=90°，
∴CM⊥CN．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．