Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙D與坐標(biāo)軸分別相交于A（-，0），B（，0），C（0，3）三點(diǎn)．
（1）求⊙D的半徑；
（2）E為優(yōu)弧AB一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B，C三點(diǎn)重合），EN⊥x軸于點(diǎn)N，M為半徑DE的中點(diǎn)，連接MN，求證：∠DMN=3∠MNE；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠DMN=45°時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）解：由于OA=OB=，且OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理知圓心D必在y軸上；
連接AD，設(shè)⊙D的半徑為R，則AD=R，OD=3-R；
Rt△ADO中，根據(jù)垂徑定理得：
AD²=AO²+OD²，即R²=3+（3-R）²，解得R=2；
即⊙D的半徑為2；

（2）證明：過(guò)D作DH⊥EN于H，連接MH；
易知四邊形DHNO是矩形，則HN=OD=1；
Rt△DHE中，MH是斜邊DE的中線，
∴DM=ME=MH=DE=1；
∴△MEH、△MHN是等腰三角形，即∠MEH=∠MHE=2∠MNE；
∵∠DMN=∠E+∠MNE，故∠DMN=3∠MNE；

（3）解：∵∠DMN=45°，
∴∠MNE=15°，∠E=30°；
Rt△DHE中，DE=2，∠E=30°；
∴DH=1，EH=；
∴EN=EH+HN=+1；
故E（1，+1），
根據(jù)軸對(duì)稱性可知，點(diǎn)E在第二象限的對(duì)稱點(diǎn)（-1，+1）也可以．
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（1，+1）或（-1，+1）．
分析：（1）由于A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，由垂徑定理知圓心D必在y軸上，可連接AD，在Rt△OAD中，用半徑表示出OD、AD的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求半徑的長(zhǎng)．
（2）過(guò)D作EN的垂線，設(shè)垂足為H，易證得四邊形DHNO是矩形，則NH=OD=1；連接MH，在Rt△EDH中，MH是斜邊DE上的中線，則MH=ME=DM=1，由此可知∠E=∠MHE=2∠B；由于∠DMN是△MEB的外角，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出本題所求的結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，易求得∠E=30°，在Rt△DEH中，根據(jù)⊙D的半徑及∠E的度數(shù)，即可求出DH、EH的長(zhǎng)，也就得出了E點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性即可求出另一種情況的點(diǎn)E的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等邊對(duì)等角等知識(shí)，（2）是本題的一個(gè)難點(diǎn)，能夠正確的構(gòu)建出與所求相關(guān)的兩個(gè)等腰三角形是解題的關(guān)鍵．