Question

1．已知△ABC，△BEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠BEF=90°，連AF、CF，點M為AF的中點，連EM，將△BEF繞點B旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1，猜想CF與EM的數(shù)量關(guān)系CF=2EM；
（2）利用你所學的知識，證明你（1）中得到的結(jié)論；
（3）如圖2，過B點作BN⊥EM，交ME的延長線于N點，若BN=4，EN=2，BC=10，請求出此時∠CBF與∠BCF之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）CF與EM的數(shù)量關(guān)系為CF=2EM；
（2）延長FE到點G，使EG=EF，如圖1，連結(jié)AG、BG，先證明ME為△FAG的中位線得到AG=2ME，再證明△ABG≌△CBF得到AG=CF，于是有CF=2EM；
（3）延長FE到點G，使EG=EF，如圖2，連結(jié)AG、BG，作FH⊥ME于H，交AG于L，延長BN交AG于K，由△ABG≌△CBF得AG=CF，再證明△FEH≌△EBN得到FH=EN=2，HE=BN=4，利用ME為△FAG的中位線得到FH=HL=2，ME∥AG，接著利用四邊形HLKN為矩形得到NK=HL=2，KL=HN=6，所以BK=6，于是利用勾股定理可計算出AK=8，然后求出AG=10，這樣可得到CB=CF，則∠CFB=∠CBF，最后利用三角形內(nèi)角和確定∠CBF與∠BCF之間的數(shù)量關(guān)系．

解答 （1）解：CF與EM的數(shù)量關(guān)系為CF=2EM；
故答案為CF=2EM；
（2）證明：延長FE到點G，使EG=EF，如圖1，連結(jié)AG、BG，
∵M點為AF的中點，
而EF=EG，
∴ME為△FAG的中位線，
∴AG=2ME，
∵△BEF為等腰直角三角形，
∴∠BEF=90°，BE=EF，
而EF=EG，
∴△BEG為等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠EBG=45°，
∴△FBG為等腰直角三角形，
∴BF=BG，∠FBG=90°，
∵∠ABG+∠ABF=90°，∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠ABG=∠CBF，
在△ABG和△CBF中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABG=∠CBF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBF，
∴AG=CF，
∴CF=2ME；
（3）延長FE到點G，使EG=EF，如圖2，連結(jié)AG、BG，作FH⊥ME于H，交AG于L，延長BN交AG于K，
由（2）得△ABG≌△CBF，
∴AG=CF，
∵∠FEH+∠BEN=90°，∠EBN+∠BEN=90°，
∴∠FEH=∠EBN，
在△FEH和△EBN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FHE=∠BNE}\\{∠FEH=∠EBN}\\{FE=EB}\end{array}\right.$，
∴△FEH≌△EBN，
∴FH=EN=2，HE=BN=4，
∵ME為△FAG的中位線，
∴FH=HL=2，ME∥AG，
易得四邊形HLKN為矩形，
∴NK=HL=2，KL=HN=4=2=6，
∴BK=BN+NK=4+2=6，
在Rt△ABK中，BA=BC=10，BK=6，
∴AK=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴AL=AK-KL=8-6=2，
∵EH∥GL，EF=EG，
∴GL=2EH=8，
∴AG=AL+LG=2+8=10，
∴AB=AC，
∴CB=CF，
∴∠CFB=∠CBF，
而∠CFB+∠CBF+∠BCF=180°，
∴2∠CBF+∠BCF=180°，
即∠CBF=90°-$\frac{1}{2}$∠BCF．

點評 本題考查了幾何變換綜合題：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)；利用線段中點構(gòu)建三角形中位線得到線段之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系；會利用全等三角形的知識解決線段相等的問題．