Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點(diǎn)，BE平分∠ABD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過B、E兩點(diǎn)，交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F．
（1）求證：AC與⊙O相切；
（2）當(dāng)BD=2，sinC=

1

2

時(shí)，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：連接OE，通過證明OE∥BD證明OE⊥AC，得出AC與⊙O相切；通過證明∠C=∠A，解直角三角形AOE求OE的長(zhǎng)，即半徑的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：如圖，連接OE．
∵AB=BC且D是BC中點(diǎn)
∴BD⊥AC
∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠DBE
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB
∴∠OEB=∠DBE
∴OE∥BD
∴OE⊥AC
∴AC與⊙O相切．

（2）解：∵BD=2，sinC=

1

2

，BD⊥AC
∴BC=4
∴AB=4
設(shè)⊙O 的半徑為r，則AO=4-r
∵AB=BC
∴∠C=∠A
∴sinA=sinC=

1

2

．
∵AC與⊙O相切于點(diǎn)E，
∴OE⊥AC
∴sinA=

r

4-r

=

1

2

∴r=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：考查了切線的判定、圓的性質(zhì)以及解直角三角形的簡(jiǎn)單應(yīng)用．