Question

如圖，將邊長為3+的等邊△ABC折疊，折痕為DE，點B與點F重合，EF和DF分別交AC于點M、N，DF⊥AB，垂足為D，AD=1，則重疊部分的面積為________．

Answer 1

分析：觀察圖形可知重疊部分的面積即是△DEF的面積減去△MNF的面積．由折疊的性質(zhì)，可求得∠BDE=∠EDF=45°，由四邊形的內(nèi)角和為360°，求得∠BEF為150°，得到∠CEM為30°，則可證得∠EMC為90°；作△BDE的高，根據(jù)45°與60°的三角函數(shù)，借助于方程即可求得其高的值，則各三角形的面積可解．
解答：過點E作EG⊥AB于G，

∴∠EGB=90°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=3+，
根據(jù)題意得：∠BDE=∠FDE，∠F=∠B=60°，
∵DF⊥AB，
∴∠FDB=90°，
∴∠BEF=360°-∠B-∠F-∠BDF=150°，∠BDE=∠FDE=∠FDB=45°
∴∠MEC=180°-∠BEF=30°，
∴∠EMC=180°-∠C-∠EMC=90°，
在Rt△ADN中，AD=1，tan∠A=tan60°==，
∴DN=，
∴S_△ADN=AD•DN=×1×=，
在△BDE中，DB=AB-AD=3+-1=2+，
∵∠EDG=45°，
∴∠DEG=45°，
∴DG=EG，
∵tan∠B=tan60°==，
設(shè)EG=x，則DG=x，BG=x，
∴x+x=2+，
解得：x=，
∴EG=DG=，
∴S_△BDE=BD•EG=×（2+）×=，
∵∠B=∠C=∠F=60°，
∴BE==+1，
∴EC=BC-BE=2，
∵∠BED=∠FED=180°-∠B-∠BDE=75°，
∴∠FNM=∠MEC=30°，
∴∠FMN=∠EMC=90°，
∴EM=EC•cos30°=，
∴FM=EF-EM=BE-EM=1，
∴MN=FM•tan60°=，
∴S_{四邊形MNDE}=S_△DEF-S_△MNF=S_△BDE-S_△MNF=-×1×=．
點評：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，解題的關(guān)鍵是抓住數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．