Question

我們給出如下定義：三角形三條中線的交點稱為三角形的重心．一個三角形有且只有一個重心．可以證明三角形的重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的兩倍．

可以根據(jù)上述三角形重心的定義及性質知識解答下列問題：

如圖，∠B的平分線BE與BC邊上的中線AD互相垂直，并且BE＝AD＝4

(1)猜想AG與GD的數(shù)量關系，并說明理由；

(2)求△ABC的三邊長．

Answer 1

答案：
解析：

解1：(1)AG＝GD…………………………1分 　　∵BE平分∠B 　　∴∠ABG＝∠DBG 　　∵BG⊥AD，BG＝BG 　　∴∠BGA＝∠BGD 　　∴△ABG≌△DBG 　　∴AG＝GD，AB＝BD…………………………2分 　　(2)延長BA到F，使AF＝BA 　　∴△BFC是等腰三角形…………………………4分 　　∵AD是BC的中線 　　∴AD是△BFC的一條中位線 　　延長BE交CF于H點，則BH垂直平分FC 　　∴E是△BFC的重心…………………………5分 　　∴， 　　∵ 　　∴在Rt△BHC中，………………6分 　　………………7分 　　∵在Rt△EHC中， 　　∴………………8分 　　解2：(1)AG＝GD 　　∵BE平分∠B 　　∴∠ABG＝∠DBG 　　∵BG⊥AD，BG＝BG 　　∴∠BGA＝∠BGD 　　∴△ABG≌△DBG 　　∴AG＝GD………………………………2分 　　(2)從點C作CH∥AD與BE的延長線交于H………………3分 　　∵GD∥HC 　　∴△BGD∽△BHC 　　∴ 　　有D是BC的中點，G是AD的中點，也是BH的中點 　　∵GD＝2 　　∴HC＝4，BG＝GH 　　設BG＝x，則， 　　∵AG∥HC 　　∴△AGE∽△CHE 　　∴，即 　　解出x＝3……………………………………5分 　　∴在Rt△BHC中，………………6分 　　………………7分 　　∵GE＝1，EH＝2 　　∴在Rt△AGE中， 　　∵EC＝2AE＝ 　　∴…………………………8分