Question

5．已知直線AB∥CD，點P是直線AB上一動點，點E是∠ACD平分線上的點，連接PE，作∠BPE的平分線PF交CD于點F．
（1）如圖1，若∠PEC小于180°時，直接寫出，∠ACE、∠BPF、∠PEC的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2若點P在CE的延長線上時，求證：$\frac{1}{2}$∠ACE+∠BPF=90°；
（3）在（2）的條件下，分別延長CA、FP相交于點M，若∠CMF=∠APC，求：∠ACF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）延長PE交CD于G，根據(jù)角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)，得到∠ECG+∠EGC=∠PEC，進而得出∠ACE+2∠BPF=∠PEC；
（2）根據(jù)CE平分∠ACD，PF平分∠BPE，得到∠ACE=∠ECD，∠BPE=2∠BPF，再根據(jù)AB∥CD，點P在CE的延長線上，即可得出∠BPE+∠ECD=180°，即2∠BPF+∠ACE=180°，進而得到$\frac{1}{2}$∠ACE+∠BPF=90°；
（3）根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)，得出∠ECD=∠CMF，設(shè)∠ACE=∠ECD=α，則∠CMF=α，∠ACF=2α，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，即可得出∠BPE+∠ECD=180°，進而得到4α+α=180°，求得α的值即可得到∠ACF的度數(shù)．

解答 解：（1）∠ACE、∠BPF、∠PEC的數(shù)量關(guān)系為：∠ACE+2∠BPF=∠PEC．
理由：如圖1，延長PE交CD于G，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECG，
∵AB∥CD，
∴∠EGC=∠BPE，
∵PF平分∠BPE，
∴∠EGC=∠BPE=2∠BPF，
∵∠PEC是△CEG的外角，
∴∠ECG+∠EGC=∠PEC，
∴∠ACE+2∠BPF=∠PEC；

（2）如圖2，∵CE平分∠ACD，PF平分∠BPE，
∴∠ACE=∠ECD，∠BPE=2∠BPF，
∵AB∥CD，點P在CE的延長線上，
∴∠BPE+∠ECD=180°，
∴2∠BPF+∠ACE=180°，
即$\frac{1}{2}$∠ACE+∠BPF=90°；

（3）如圖3，∵CE平分∠ACD，PF平分∠BPE，
∴∠ACE=∠ECD，∠BPE=2∠EPF，
∵AB∥CD，
∴∠ECD=∠APC，
又∵∠CMF=∠APC，
∴∠ECD=∠CMF，
設(shè)∠ACE=∠ECD=α，則∠CMF=α，∠ACF=2α，
∵∠CPF是△PCM的外角，
∴∠EPF=∠M+∠ACP=2α，
∴∠BPE=2∠EPF=4α，
∵AB∥CD，點P在CE的延長線上，
∴∠BPE+∠ECD=180°，
即4α+α=180°，
∴α=36°，
∴∠ACF=2α=72°．

點評 本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．解題時注意：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．