Question

設a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，a₃=7²-5²…
（1）寫出a_n（n為大于0的自然數(shù)）的表達式；
（2）探究a_n是否為8的倍數(shù)，并用文字語言表述你所獲得的結論；
（3）若一個數(shù)的算術平方根是一個自然數(shù)，則這個數(shù)是“完全平方數(shù)”，試找出a₁，a₂，a₃，…，a_n這一列數(shù)中從小到大排列的前4個完全平方數(shù)；并說出當n滿足什么條件時，a_n為完全平方數(shù)（不必說明理由）．

Answer 1

分析：（1）首先觀察a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，a₃=7²-5²，即可求得a_n=（2n+1）²-（2n-1）²；
（2）利用平方差公式即可求得a_n=8n，即第n個數(shù)a_n的值是n的8倍；
（3）根據(jù)從小到大排列的前4個完全平方數(shù)是16，64，144，256，得出n為一個完全平方數(shù)的2倍時，a_n為完全平方數(shù)．

解答：解：（1）a_n=（2n+1）²-（2n-1）²；
（2）∵a_n=（2n+1）²-（2n-1）²=8n，n為非零的自然數(shù)
∴a_n是8的倍數(shù)；
文字語言：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)；
（3）這一列數(shù)中從小到大排列的前4個完全平方數(shù)是16，64，144，256；
n為一個完全平方數(shù)的2倍時，a_n為完全平方數(shù)．

點評：此題考查了數(shù)字的規(guī)律性問題，解題的關鍵是找到規(guī)律：a_n=（2n+1）²-（2n-1）²．