Question

（2005•棗莊）已知拋物線y=（1-a）x²+8x+b的圖象的一部分如圖所示，拋物的頂點在第一象限，且經過點A（0，-7）和點B．
（1）求a的取值范圍；
（2）若OA=2OB，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為二次函數過點A，所以可以確定b的值，又因為拋物線為y=（1-a）x²+8x-7又拋物線的頂點在第一象限，開口向下，所以拋物線與x軸有兩個不同的交點，所以可以確定1-a＜0，△＞0，解不等式組即可求得a的取值范圍；
（2）因為OA=2OB，可求得點B的坐標，將點A，B的坐標代入二次函數的解析式即可求得a，b的值，即可求得二次函數的解析式．
解答：解：（1）由圖可知，b=-7．（1分）
故拋物線為y=（1-a）x²+8x-7．
又因拋物線的頂點在第一象限，開口向下，
所以拋物線與x軸有兩個不同的交點．
∴，
解之，得1＜a＜．（3分）
即a的取值范圍是1＜a＜．（6分）

（2）設B（x₁，0），
由OA=20B，
得7=2x₁，即x₁=．（7分）
由于x₁=，方程（1-a）x²+8x-7=0的一個根，
∴（1-a）（）²+8×-7=0
∴．（9分）
故所求所拋物線解析式為y=-x²+8x-7．（10分）
點評：此題考查了二次函數的圖象的性質，開口方向，與x軸的交點個數與△的關系，待定系數法求函數解析式等；
解題的關鍵是數形結合思想的應用．