Question

如圖，△ABC是邊長為a的等邊三角形，△BCD中，BD=CD，∠BDC=120°，點M，N分別在AB，AC上，且∠MDN=60°．試問：△AMN的周長和面積是否隨著點M，N的位置的改變而改變，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：△AMN的周長不變，面積發(fā)生變化，理由為：延長AB到E，使BE=CN，連接ED，由三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，再由三角形BCD為等腰三角形得到兩底角相等，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形EDM與三角形NDM全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到ED=ND，再利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形EMD與三角形NMD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到ME=MN，等量代換得到MN=MB+NC，表示出三角形AMN周長，等量代換求出周長為2a，而面積變化．

解答：解：△AMN的周長不變，面積發(fā)生變化，
理由為：延長AB到E，使BE=CN，連接ED，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∵△BCD中，BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠EBD=∠NCD=90°，
在△BED和△CND中，

BD=CD ∠EBD=∠NCD BE=CN

，
∴△BED≌△CND（SAS），
∴ED=ND，∠BDE=∠CDN，
∵∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠BDM+∠BDE=60°，即∠EDM=∠NDM，
在△EDM和△NDM中，

MD=MD ∠EDM=∠NDM DE=DN

，
∴△EDM≌△NDM（SAS），
∴ME=MN，
∴MN=ME=MB+BE=MB+NC，
則△AMN周長為AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC=2a，△AMN面積發(fā)生變化．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．