Question

20．如圖，點E是正方形ABCD的邊CD上一點，把線段AE沿EC方向平移，使得點E與點C重合，得到線段CF．
（1）在圖中畫出線段CF．
（2）線段AE還可以通過一次的圖形變換（軸對稱或旋轉）得到線段CF嗎？試作簡要說明．
（3）若AE=13，AD=12，直接寫出線段EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平移的條件畫出圖形即可．
（2）線段AE還可以繞正方形對角線的交點旋轉180^o得到線段CF；只要證明四邊形AECF是平行四邊形即可解決問題．
（3）作EH⊥AB于H．則四邊形ADEH是矩形，在Rt△EHF中，根據(jù)EF=$\sqrt{E{H}^{2}+H{F}^{2}}$，求出EH，HF即可．

解答 解（1）線段CF如圖所示，

（2）線段AE還可以繞正方形對角線的交點旋轉180^o得到線段CF；
理由：∵AE=CF，AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，連接AC、EF交于點O，
∴OA=OC，
∵四邊形AECF是中心對稱圖形，
∴線段AE還可以繞正方形對角線的交點O旋轉180^o得到線段CF．
（3）作EH⊥AB于H．則四邊形ADEH是矩形，AH=DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=5，EC=AF=7，
在Rt△EHF中，∵EH=AD=12，HF=AF-AH=CE-DE=7-5=2，
∴EF=$\sqrt{E{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{37}$．

點評 本題考查正方形的性質、平移變換、旋轉變換、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線構造特殊三角形，屬于中考常考題型．