Question

已知：如圖，平面直角坐標系中，半圓的直徑AB在x軸上，圓心為D．半圓交y軸于點C，AC=2

5

，BC=4

5

．
（1）證明：△AOC∽△ACB；
（2）求以AO、BO兩線段長為根的一元二次方程；
（3）求圖象經(jīng)過A、B、C三點的二次函數(shù)的表達式；
（4）設(shè)此拋物線的頂點為E，連接EC，試判斷直線EC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓的知識求出∠AOC=∠ACB，∠CAO=∠BAC然后可證明△AOC∽△ACB．
（2）由1得出相似三角形繼而求出線段比．求出AO=

AC2

AB

=2得解．
（3）設(shè)經(jīng)過A、B、C三點的二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，把已知坐標代入求出函數(shù)表達式．
（4）把函數(shù)表達式化簡求出點E的坐標，然后連接EC，CD，ED，根據(jù)勾股定理求證∠DCE=90°，即可知直線EC與⊙D的位置關(guān)系是相切．

解答：（1）證明：∵AB為半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠AOC=∠ACB，∠CAO=∠BAC．
∴△AOC∽△ACB．

（2）解：AB=

AC2+BC2

=10，
∵△AOC∽△ACB，
∴

AC

AB

=

AO

AC

．
∴AO=

AC2

AB

=2，BO=AB-AO=8．
∴以AO、BO兩線段長為根的一元二次方程為（ x-2 ）（ x-8 ）=0；

（3）解：在Rt△AOC中，OC=4，
∴A（-2，0），B（8，0），C（0，4）．
設(shè)經(jīng)過A、B、C三點的二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），依題意有：
∴

0 = 4a -2b +c 0= 64a +8b +c 4= 0 + 0 + c

，
∴

a=- 1 4 b= 3 2 c=4

∴表達式為：y=-

1

4

x²+

3

2

x+4．

（4）直線EC與⊙D相切，理由如下：
∵y=-

1

4

x2+

3

2

x+4=-

1

4

(x-3)2+

25

4

，
∴頂點E的坐標為（3，

25

4

）．
連接EC、CD、ED，則CD=AD=5，ED=

25

4

．
∴CF=3，EF=

9

4

，CE=

15

4

．
∴CD²+CE²=

625

16

，DE²=

625

16

．
∴CD²+CE²=DE²．
∴∠DCE=90°，CD為半徑．
∴直線EC與⊙D的位置關(guān)系是相切．

點評：本題考查的是二次函數(shù)與圓的知識相結(jié)合的有關(guān)知識以及勾股定理的運用．難度較大．